Matematika merupakan salah satu pelajaran inti yang sudah ditetapkan oleh Menteri Pendidikan negara Indonesia. Matematika sudah di ajarkan sejak di bangku Sekolah Dasar, hingga masih terus diaplikasikan di pekerjaan bahkan di kehidupan sehari-hari. Matematika memiliki banyak bagian-bagian mulai dari matematika dasar hingga yang levelnya lebih tinggi.
Ketika SMA, limit adalah salah satu pelajaran yang di ajarkan. Limit dapat diterapkan di dunia kerja bahkan di dalam kehidupan sehari-hari.
SEJARAH LIMIT
Limit dikembangkan dari masa ke masa, dikembangkan oleh berbagai peneliti untuk mencapai suatu kesempurnaan di rumusnya. Salah satu penelitinya yaitu bernama Gottfried Willhelm Leibniz (1646 - 1716). Leibniz adalah anak seorang profesor filsafat moral, Friedrich Leibniz
warganegara Jerman.
 |
Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1716)
Christian Huygen
Erhard Wiegel
|
Tahun 1661, saat umur 15 tahun (tergolong jenius),
dia masuk universitas Leipzig
dengan mengambil jurusan hukum. Ia baru menyadari bahwa minatnya merupakan di bidang filsafat, namun ia tetap meluluskan kuliahnya di bidang hukum pada tahun 1663, sebelum ia pindah ke Jena. Di sana, ia baru memahami pentingnya pembuktian matematika terhadap logika dan
filsafat. Filsafat menjadi alasan dasar mengapa Leibniz mempelajari Matematika karena keduanya memiliki hubungan.
Pertemuan dengan Huygens
Ada dua tokoh yang menjadi pengaruh Leibniz dalam bidang matematika. Seorang matematikawan bernama Erhard Wiegel dan juga seorang fisikawan bernama Christian Huygen (jauh berpengaruh lebih besar) setelah mereka
bertemu pada saat Leibniz berumur 26 tahun di Paris. Huygens memang seorang fisikawan, tapi karya-karya
terbaiknya justru terkait dengan horologi (ilmu tentang pengukuran waktu),
sebagai peneliti tentang gerakan cahaya, juga dalam bidang matematika.
Huygens memberi Leibniz makalahnya tentang dasar matematika pada pendulum buatannya kepada Leibniz. Melihat bagaimana matematika bekerja dengan hebat, Leibniz memohon agar
Huygens bersedia mengajarinya matematika. Dengan senang hati Huygens bersedia.
Untuk memberi impresi kepada Huygens, Leibnez memamerkan hasil-hasil
penemuannya. Salah satu yang disebutkan adalah mesin penghitung yang
dikatakannya jauh lebih hebat dibanding buatan Pascal, yang hanya dapat
menangani tambah dan kurang; sedangkan mesin buatan Leibniz dapat menangani
perkalian, pembagian dan menghitung akar bilangan. Di bawah bimbingan Huygens,
dengan cepat Leibniz menemukan jati dirinya, yaitu sebagai seorang
matematikawan. Proses pembelajaran dari Huygens sempat tertunda beberapa bulan saat
Leibniz harus bertugas di London
sebagai Atase. Ketika di London, Leibniz menghadiri pertemuan dengan Royal Society, dimana dia menunjukkan kerja
mesin hitung penemuannya. Penemuan dan hasil karyanya itu membuat Leibniz
diangkat sebagai anggota Royal Society berwarganagara asing (bukan orang
Inggris) sebelum dia pulang ke Paris
pada tahun 1673. Tidak lama kemudian, Leibniz dan Newton pada saat hampir bersamaan diangkat
menjadi anggota Akademi Sains Perancis berwarganegaraan asing. Merasa puas
dengan prestasi yang diraih Leibniz, Huygens menyuruh anak didiknya ini terus
menekuni matematika. Dalam perpisahan dengan Huygens di Paris, guna kembali ke Hanover, Leibniz
berjanji akan menggunakan waktu senggangnya untuk menekuni matematika. Tahun
1676, Leibniz mengabdikan dirinya pada Duke Brunswick-Luneburg. Newton dan Leibniz,
keduanya mengaku sebagai penemu kalkulus.
______________________
Leibniz vs Newton
Newton memulai
ide tentang kalkulus pada tahun 1660-an, tetapi karya-karya tersebut tidak
diterbitkan selama hampir 20 tahun. Tidak ada yang mengetahui secara jelas,
apakah Leibniz pada usia 33 tahun menemukan karya-karya “terpendam” Newton pada
saat melakukan kunjungan ke London, karena pada saat itu pula dia sedang
mengembangkan kalkulus, meski dengan versi sedikit berbeda dari versi Newton,
di mana temuan ini selalu diperdebatkan orang. Keduanya memang pernah saling
berkirim surat
pada tahun 1670-an, sehingga sulit ditentukan siapa mempengaruhi siapa. Teori
yang mereka kemukakan memberikan hasil akhir yang sama, namun cara kerjanya sangatlah berbeda. Newton
mengirim surat
ke Leibniz yang memakan waktu lama untuk sampai di tangan Leibniz. Surat ini berisikan hasil yang diperoleh Newton tanpa disertai penjelasan cara dan
metode memperolehnya. Leibniz segera membalas surat
tersebut, tapi Newton
tidak menyadari bahwa suratnya baru diterima Leibniz, dan diperlukan waktu 6
minggu untuk membalasnya. Balasan surat Leibniz
ini menyadarkan Newton
bahwa dia harus menerbitkan metode perhitungan secepat mungkin.
Newton menulis surat
kedua pada tahun 1676, tetapi surat
itu baru diterima Leibniz pada Juni 1677 karena Leibniz sedang berada di
Hanover. Surat kedua ditulis Newton dengan nada lebih “sopan” yang
menyebutkan bahwa bukan Leibniz yang mencari metode kalkulus. Jawaban surat Leibniz berisikan
prinsip-prinsip dasar dan terperinci tentang diferensial kalkulus versinya,
termasuk melakukan diferensial fungsi atas suatu fungsi.
Kalkulus
Perbedaan yang sangat kecil, lebih kecil dari bilangan positif yang dapat anda
beri nama tetapi tetap lebih besar dari nol. Bagi matematikawan jaman itu, hal
tersebut adalah konsep yang sangat aneh. Newton
malu dengan persamaan-persamaan tersebut sehingga hal ini tetap disembunyikan
rapat-rapat. Ternyata os pada perhitungan hanyalah ‘batu loncatan’ menuju
penyelesaian suatu perhitungan.
Sebaliknya, Leibniz memperhatikan perubahan kecil ini, dan tetap terpakai dalam
semua perhitungannya; akhirnya derivatif y terhadap x bukanlah merupakan nisbah
bebas bilangan maha kecil ini dari perubahan (fluxion) yº/xº, tapi nisbah
bilangan maha kecil dy/dx. Kalkulus Leibniz, dengan dy dan dx dapat
dimanipulasi seperti layaknya angka biasa. Alasan ini kiranya dapat menjawab
pertanyaan mengapa para matematikawan lebih suka menggunakan notasi kalkulus
Leibniz daripada notasi kalkulus Newton.
Pada diferensial Leibniz ada “larangan” apabila terjadi 0/0, hal ini harus
dihindari, dimana hal ini tidak terdapat pada fluxion Newton.
Newton tetap
bersikeras bahwa kalkulus adalah temuannya, keduanya saling tuduh bahwa masing-masing dari mereka merupakan plagiat. Namun, Leibniz tetap dalam pendiriannya dengan mengatakan bahwa ia mengembangkan kalkulus dengan versinya sendrirKomunitas matematika Inggris mendukung Newton dan menarik diri dari komunitas
matematikawan benua Eropa yang mendukung Leibniz. Akibatnya, Inggris mengadopsi
notasi fluxion Newton
daripada mengadaptasi notasi diferensial Leibniz yang lebih “hebat.” Akibatnya
cukup fatal, kelak, pengembangan kalkulus di Inggris menjadi jauh tertinggal
dibandingkan negara-negara Eropa lainnya.
Konflik diantara kedua penemu kalkulus ini terus berlanjut. Sampai akhirnya, akhir tahun
1713, Leibniz mengeluarkan sebuah dokumen yang memaparkan segala kesalahan Newton dalam memahami derivatif kedua atau derivatif yang lebih besar lagi, didukung juga oleh Johann Bernoulli. Akhirnya, pada tahun 1673 Leibniz menyempurnakan notasi-notasi kalkulus versinya. Dua tahun kemudian, dia menulis manuskrip dengan menggunakan notasi: ?f(x)dx untuk
pertama kalinya. Tahun 1676, menemukan notasi: d(xn) = nxn?¹ dx untuk integral
dan pangkat n, dimana sejak tahun ini pula dia menghabiskan sisa hidupnya di
Hanover.
Menelaah Biner (binary)
Tahun 1679, Leibniz pertama kali mengenalkan sistem bilangan berbasis dua
(biner). Berawal dari korespondensi dengan Pere Joachim Bouvet, seorang jesuit
dan misionaris di Cina. Lewat Bouvet ini, Leibniz belajar I Ching (sudah ada
5000 SM), heksagram (permutasi garis lurus dan garis patah yang sebanyak 6
susun) yang terkait dengan sistem bilangan berbasis dua. Yin dan yang pada
heksagram yang dilambangkan garis putus dan garis lurus digantikan dengan angka
0 dan angka 1. Hasilnya heksagram dikonversi menjadi bilangan biner. Sistem
bilangan ini – kelak, menjadi fondasi revolusi komputer.
Ada versi lain yang mengatakan bahwa Leibniz mengemukakan teori penciptaan alam
semesta dari kehampaan (void) lebih dari sekedar Tuhan/0 dan kehampaan/0,
karena Leibniz berupaya menggunakan pengetahuan itu untuk mengajak warga Cina
agar memeluk agama Kristen. Dari sini kita dapat mengetahui bahwa Leibniz merupkan seorang penganut Kristen yang taat, sehingga memiliki keinginan untuk menyebarkan ajaran agama Kristen/
Istilah matematika Liebniz dalam biner ini tergolong sangat kontroversial,
barangkali pengaruh latar belakang keluarga dan pendidikannya sangat besar. Begitu
pula sikapnya terhadap bilangan imajiner (i atau v-1) yang disebutnya dengan
roh kudus. Dia sebenarnya memahami bahwa bilangan i akhirnya mengungkapkan
hubungan antara nol dan bilangan tidak terhingga.
Mesin penghitung Leibniz
Tahun 1667, Leibniz tinggal di Frankfurt,
bekerja pada Boineburg yang menjabat sebagai Sekretaris masyarakat alkimia
Nurenburg. Di sini, selama bertahun-tahun, Leibniz diajak untuk terlibat di dalam berbagai proyek yang terkait dengan sains maupun politik. Leibniz memulai pembuatan mesin
penghitung, dimana pada tahun 1673 ditemani keponakan Boineburg, dihadapan
Royal Society (Inggris), guna mendemontrasikan mesin penghitung yang belum
selesai. Mesin penghitung versi Leibniz merupakan penyempurnaan dari mesin
penghitung ciptaan Pascal. Blaise Pascal menemukan mesin penjumlah pada tahun
1642 dan pada tahun 1673, Leibniz kemudian menyempurnakan mesin hitung Pascal dengan menambahkan operasi
perkalian dan pembagian.
Karir Leibniz
Leibniz mengabdikan dirinya ke
dalam tiga profesi utama: pustakawan, ahli sejarah dan penasihat. Pekerjaan Leibniz menjadi seorang sejarahwan ini membuat dia sering berkeliling Jerman, Austria
bahkan sampai Italia dalam kurun waktu 3 tahun. Saat mengunjungi Vatikan, Leibniz ditawarkan oleh Paus untuk menjadi
pustakawan di perpustakaan Vatikan.
Namun ia menolak mentah-mentah tawaran itu karena ia diharuskan untuk memeluk agama Katolik. Lalu muncullah keinginannya untuk menyatukan kembali Protestan dan Katholik. Wakil dari kedua agama ini ditempatkan pada konferensi
di Hanover
tahun 1683, namun usaha ini gagal karena keinginan masing-masing agama untuk menguasai satu atas
lainnya.
Catatan kompetensi utama Leibniz sulit dipahami orang. Ilmu ekonomi, philology
(ilmu tentang sejarah bahasa atau studi perpustakaan), hukum internasional
(Liebniz adalah perintis bidang ini), menentukan pertambangan sebagai industri
penggerak perekonomian Jerman, membangun pusat-pusat pendidikan, semuanya
adalah minat-minat Leibniz.
Moralis yang tidak etis?
Leibniz tampaknya memendam keyakinan bahwa mendasarkan diri pada etika adalah
suatu cita-cita semua pihak. Pada saat itu Leibniz membawa salinan ringkasan
karya puncak Spinoza – disebut setelah melalui klarifikasi, yang belum
dipublikasikan Ethica – makalah perkembangan etika dalam membahas karya
geometri Euclid.
Satu tahun kemudian, Spinoza meninggal. Para
pemerhati filsafat yang membaca karya itu setuju dengan apa yang dikemukakan
oleh Leibniz, tapi tidak mengetahui bahwa sebenarnya karya tersebut adalah hasil “buah pikir” Spinoza. Para pakar bidang etika
menyebut bahwa jangan terburu-buru menuduh Leibniz bersalah atau barangkali
Liebniz mengemukakan pemikiran-pemikirannya tentang etika terpisah dengan
Spinoza. Setidak-tidaknya ada dua contoh dalam matematika (fungsi ellips dan
geometri non-Euclidian) yang dapat dijadikan dasar pembuktian bahwa itu
merupakan karya Leibniz. Catatan harian dan surat-menyurat Spinoza yang dicari
setelah meninggalnya tidak cukup memberi bukti bahwa Leibniz bersalah.
Pengabdian akhir Leibniz
Leibniz tak henti mengembangkan pemikirannya di bidang filsafat setelah berkencimpung di dunia filsafat setelah 25 tahun. Tidaklah mengherankan bagi para pembaca dan
pemerhati kiprahnya, apabila mendengar bahwa Leibniz mencetuskan teori monads
(substansi dasar individu merefleksikan tatanan jagat raya – replika miniatur
dari jagat raya) menyatakan tentang segalanya dalam alam semesta ini ada dalam
suatu tatanan. Masih ditambah, melancong ke metafisika dengan mencetuskan theorema optimisme -
segala sesuatu diperuntukkan bagi yang terbaik dengan semua yang
terbaik dari semua dunia yang dimungkinkan. Akan tetapi semua itu dilupakan
orang karena barangkali dianggap mendahului jamannya. Pada tahun 1759,
penjabaran secara rinci didemontrasikan oleh Voltaire (1694 – 1778) dengan
karya besarnya Candide. Barangkali Theory of Everything dari Stephen Hawking
juga mengambil nama yang pernah dicetuskan Leibniz. Siapa tahu?
Sumbangsih
Kalkulus tidak akan sempurna apabila tidak ada kiprah Leibniz. Minat Leibniz
yang sangat beragam ternyata membuka cakrawala baru bagi perkembangan ilmu
pengetahuan atau memunculkan disiplin ilmu baru. Hukum internasional, sistem
bilangan berbasis dua (binary) dan geologi adalah disiplin ilmu hasil cetusan
dari Leibniz. Belum lagi karya mesin hitung yang merupakan penyempurnaan buatan
Blaise Pascal ini sudah dianggap menjadi salah satu dari penemuan-penemuan paling penting.
